Polynomial Invariants | #Aut | Splitting Field | Number of | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
j | Ramification Polygon | Slopes | Residual Polynomials | fT | eT | #Gal | Gal | Polynomials | Extensions | |||
1 | {(1,1), (5,0), (10,0)} | [ 1/4, 0 ] | (2z+1, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | 8·5 | 8·5 |
(2z+2, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z+3, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z+4, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
2 | {(1,2), (5,0), (10,0)} | [ 1/2, 0 ] | (2z2+1, z5+2) | {2} | 2 | 4 | { 40 } | { 10T5 } | 1 | 2·5 | 8·5 | 8·5 |
(2z2+2, z5+2) | {2} | 1 | 4 | { 20 } | { 10T4 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z2+3, z5+2) | {2} | 1 | 4 | { 20 } | { 10T4 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z2+4, z5+2) | {2} | 2 | 4 | { 40 } | { 10T5 } | 1 | 2·5 | |||||
3 | {(1,3), (5,0), (10,0)} | [ 3/4, 0 ] | (2z+1, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | 8·5 | 8·5 |
(2z+2, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z+3, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z+4, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 1 | 2·5 | |||||
4 | {(1,4), (5,0), (10,0)} | [ 1, 0 ] | (2z4+1, z5+2) | {2} | 4 | 2 | { 40 } | { 10T5 } | 1 | 2·5 | 8·5 | 8·5 |
(2z4+2, z5+2) | {2} | 2 | 2 | { 20 } | { 10T3 } | 1 | 2·5 | |||||
(2z4+3, z5+2) | {5,10} | 1 | 2 | { 10, 50 } | { 10T6, 10T2 } | 5 | 2·5 | |||||
(2z4+4, z5+2) | {2} | 4 | 2 | { 40 } | { 10T5 } | 1 | 2·5 | |||||
6 | {(1,6), (5,0), (10,0)} | [ 3/2, 0 ] | (2z2+1, z5+2) | {1,2} | 2 | 4 | { 40, 200 } | { 10T5, 10T17 } | 5 | 2·52 | 8·52 | 8·52 |
(2z2+2, z5+2) | {1,2} | 1 | 4 | { 20, 100 } | { 10T4, 10T10 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z2+3, z5+2) | {1,2} | 1 | 4 | { 20, 100 } | { 10T4, 10T10 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z2+4, z5+2) | {1,2} | 2 | 4 | { 40, 200 } | { 10T5, 10T17 } | 5 | 2·52 | |||||
7 | {(1,7), (5,0), (10,0)} | [ 7/4, 0 ] | (2z+1, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | 8·52 | 8·52 |
(2z+2, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z+3, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z+4, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
8 | {(1,8), (5,0), (10,0)} | [ 2, 0 ] | (2z4+1, z5+2) | {1,2} | 4 | 2 | { 40, 200 } | { 10T5, 10T17 } | 5 | 2·52 | 8·52 | 8·52 |
(2z4+2, z5+2) | {1,2} | 2 | 2 | { 20, 100 } | { 10T3, 10T9 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z4+3, z5+2) | {5,10} | 1 | 2 | { 10, 50 } | { 10T1, 10T6 } | 52 | 2·52 | |||||
(2z4+4, z5+2) | {1,2} | 4 | 2 | { 40, 200 } | { 10T5, 10T17 } | 5 | 2·52 | |||||
9 | {(1,9), (5,0), (10,0)} | [ 9/4, 0 ] | (2z+1, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | 8·52 | 8·52 |
(2z+2, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z+3, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
(2z+4, z5+2) | {1} | 2 | 8 | { 400 } | { 10T28 } | 5 | 2·52 | |||||
10 | {(1,10), (5,0), (10,0)} | [ 5/2, 0 ] | (2z2+3, z5+2) | {1,2} | 1 | 4 | { 20, 100 } | { 10T4, 10T10 } | 52 | 2·53 | 2·53 | 2·53 |